Wahadło Foucaulta nie obraca się w dobę. W Paryżu potrzebuje 32 godzin

W lutym 1851 roku grupa paryskich uczonych dostała zaproszenie, które brzmiało jak żart: „Przyjdźcie zobaczyć, jak obraca się Ziemia”. W sali południkowej Obserwatorium stało tylko wahadło. Kilka tygodni później tę samą próbę pokazano pod kopułą Panteonu, gdzie na 67-metrowym drucie wisiała kula o masie 28 kilogramów, a pod nią leżał piasek. Ślad rysowany przez wahadło przesuwał się względem podłogi, ale pełny obrót zajmował około 32 godzin, nie dobę. Ta pozorna rozbieżność jest właśnie dowodem, że eksperyment działa.

Zaproszenie na obrót Ziemi

Jean Bernard Léon Foucault urodził się w Paryżu w 1819 roku. Uczył się głównie w domu, zaczął studia medyczne i porzucił je, bo nie znosił widoku krwi. Został pomocnikiem laboratoryjnym. Nie miał formalnego wykształcenia naukowego, ale miał zręczne ręce i wyczucie do budowania przyrządów. Zajmował się dagerotypią, zrobił jedne z pierwszych zdjęć Słońca, a razem z Hippolytem Fizeau mierzył prędkość światła. ^[1]

Pewnej styczniowej nocy 1851 roku, około drugiej nad ranem, wpadł na pomysł. Jeśli zawiesić ciężarek tak, by mógł kołysać się w każdym kierunku, to płaszczyzna jego wahań pozostanie nieruchoma, a Ziemia obróci się pod nim. Najpierw sprawdził to w piwnicy swojego domu. Potem rozesłał zaproszenia na 2 lutego, a następnego dnia pokazał efekt w sali południkowej Obserwatorium. Część uczonych podchodziła do tego sceptycznie, bo wcześniej twierdzono, że taki efekt w ogóle nie wystąpi albo będzie zbyt mały, by go zauważyć.

W marcu przyszła kopuła Panteonu. Za zgodą Ludwika Napoleona Bonaparte Foucault i konstruktor Gustave Froment zawiesili stalowy drut długości 67 metrów oraz kulę z mosiądzu i ołowiu o masie 28 kilogramów. Podłogę przykryto drewnianą platformą i cienką warstwą piasku. Ostry czubek umocowany u dołu kuli zostawiał w piasku rowek, który z godziny na godzinę zmieniał położenie, więc ludzie widzieli ruch, którego nie da się zauważyć w jednej chwili. Publiczność przychodziła tłumnie. Pokaz przerwał zamach stanu z grudnia 1851 roku, pół wieku później powtórzył go Camille Flammarion, a w 1995 roku wahadło wróciło do Panteonu na stałe. ^[2]

Nic nie popycha kuli w bok

Najłatwiej zrozumieć ten eksperyment, gdy pomyśli się o tym, czego w nim nie ma. Nikt nie popycha kuli w bok, nie ma silnika ani magnesu. Rozhuśtana kula porusza się w płaszczyźnie, której orientacja zostaje zachowana, bo nic jej nie skręca. Podłoga, ściany i obserwatorzy obracają się razem z Ziemią. Komuś, kto stoi w Panteonie, wydaje się więc, że to płaszczyzna wahań obraca się powoli. Na półkuli północnej ten pozorny ruch idzie w prawo, zgodnie ze wskazówkami zegara.

Foucault zaczął swoją notatkę od przypadku, w którym wszystko jest najprostsze: obserwator na biegunie. Tam pion pokrywa się z osią obrotu Ziemi, płaszczyzna wahań jest nieruchoma względem gwiazd, a ślad na podłodze zatacza pełne koło w ciągu doby gwiazdowej, czyli niespełna 24 godzin. Im bliżej równika, tym pion opisuje szerszy stożek, ruch pozorny zwalnia, na równiku zanika, a na półkuli południowej zmienia kierunek. ^[3]

Długość drutu też nie jest przypadkowa. Kula na 67-metrowym drucie potrzebuje około 16 sekund na jedno pełne wahnięcie. Wolny, długi ruch daje czas, by przesunięcie zdążyło się nazbierać i stało się widoczne, zamiast ginąć w drgnięciu ręki i drżeniu powietrza.

Skąd się bierze 32 godziny

Liczy się tylko ta część obrotu Ziemi, która jest prostopadła do lokalnej powierzchni. Na szerokości geograficznej φ wynosi ona Ω sin φ, gdzie Ω to pełny obrót Ziemi. W Paryżu, na 48 stopniach i 51 minutach, sinus wynosi około 0,75. Ziemskie 15 stopni na godzinę trzeba więc pomnożyć przez 0,75 i wychodzi około 11 stopni na godzinę. Pełne 360 stopni zajmuje w przybliżeniu 32 godziny, a w ciągu doby płaszczyzna obraca się o jakieś 270 stopni. ^[4]

Ta sama reguła wyjaśnia resztę. Na biegunie sinus równa się 1, więc obrót trwa dobę. Na równiku sinus wynosi 0 i wahadło nie obraca się wcale. W Warwick, na 52 stopniach szerokości, pełny obrót zajmuje około 30 godzin, a na 30 stopniach, na przykład w Kairze, około dwóch dni. Wzór bywa nazywany prawem sinusów Foucaulta. On sam podał go w notatce z 1851 roku, zaznaczając, że przy naszych szerokościach zjawisko komplikuje dodatkowy czynnik, trudny do oszacowania.

Dlaczego prawdziwe wahadło bywa kapryśne

Idealne wahadło nie istnieje. Kula musi być symetryczna, drut cienki i równy, a start musi obyć się bez bocznego pchnięcia. Foucault w piwnicy rozwiązywał to w prosty sposób: przytrzymywał kulę pętlą ze sznurka, a potem przepalał sznurek, żeby puściła bez impulsu. Na wystawę w 1855 roku przygotował elektromagnes, który co jakiś czas podtrzymywał ruch kuli.

Nawet wtedy kula rzadko kołysze się w idealnej płaszczyźnie. Zwykle zatacza bardzo wąską elipsę, a taka elipsa sama obraca swoją oś, niezależnie od ruchu Ziemi. Ten efekt, znany jako precesja Airy’ego, wynika z kształtu toru, a nie z obrotu planety. Nierówności zawieszenia, sposób startu i opór powietrza dokładają własny dryf. Dlatego wahadła Foucaulta buduje się długie i mocowane symetrycznie, a nie byle jak. ^[5]

Jest jeszcze drugi szkopuł, o którym rzadko mówi się w szkole. Obraz „Ziemia obraca się pod nieruchomą płaszczyzną” jest ścisły tylko na biegunie. Na innych szerokościach punkt zawieszenia też krąży wokół osi Ziemi i sam doznaje przyspieszenia. W rachunku prowadzonym na powierzchni planety trzeba więc uwzględnić siłę Coriolisa, a tempo obrotu płaszczyzny nie jest dokładnie stałe.

Po co komu wahadło, skoro obrót Ziemi znano

W połowie XIX wieku wykształcony paryżanin nie miał wątpliwości, że Ziemia się obraca. Dowody były jednak astronomiczne, pośrednie i czytelne głównie dla specjalistów. Próby z rzucaniem ciał z wysokości dawały wyniki zbyt niepewne, by cokolwiek rozstrzygnąć. Wahadło dało dowód miejscowy, mechaniczny i widoczny gołym okiem. Nie trzeba było teleskopu ani wyprawy, wystarczyły drut, ciężarek i cierpliwość.

Foucault zyskał sławę. W 1852 roku zbudował żyroskop jako drugi sposób pokazania obrotu Ziemi, a w 1865 roku przyjęto go do Akademii Nauk. Zmarł w 1868 roku, mając 49 lat.

Dziś pod kopułą Panteonu nie ma już warstwy piasku. Jest okrągła platforma i tłum zwiedzających. Zasada została ta sama: ciężar na drucie, trochę czasu i podłoga, która zdradza, że nie jest nieruchoma. Te 32 godziny nie są tu błędem. Jest miarą miejsca, z którego patrzymy.

Źródła

1. American Physical Society, „Earth Rotates”, APS News, luty 2007. https://www.aps.org/apsnews/2007/02/foucault-earth-rotates
2. Centre des monuments nationaux, „Le pendule de Foucault”, Panteon w Paryżu. https://www.paris-pantheon.fr/decouvrir/le-pendule-de-foucault
3. Léon Foucault, „Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule”, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, t. 32, 1851, s. 135–138. https://archive.org/details/comptesrendusheb32acad
4. University of Warwick, Department of Physics, „Entrance Hall pendulum and display”. https://warwick.ac.uk/fac/sci/physics/intranet/pendulum
5. Joe Wolfe, „The Foucault pendulum – the physics (and maths) involved”, School of Physics, University of New South Wales. https://www.phys.unsw.edu.au/~jw/pendulumdetails.html
6. Zdjęcie: xiquinhosilva, „Foucault pendulum at Panthéon de Paris”, Wikimedia Commons, CC BY 2.0, kadr i zmiana rozmiaru przez redakcję. https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Foucault_pendulum_at_Panth%C3%A9on_de_Paris_(24466666577).jpg